稠密性

1. 概述

于一般拓扑中, 稠密性 描述一个 子集 是否遍布整个 拓扑空间：空间中的每个非空 开集 都能遇到该子集.

在 序论 中, 同一术语也用于描述两个不同且有序的 元素 之间总能找到第三个元素.

2. 定义

定义 1 (拓扑空间中的稠密性)

设 为 拓扑空间, . 称 在 中满足 稠密性, 或称 为 的稠密子集, 当对任意非空 开集 都有：

定义 2 (全序中的稠密性)

设 为 全序集. 称 满足 稠密性, 当：

3. 例子

例子 3 (初步例子)

• 有理数 集合 在具有通常拓扑的 实数 集合 中满足 稠密性, 因为每个非空开区间都包含有理数;
• 整数 集合 在 中不稠密, 因为开区间 与 不相交;
• 有理数 与 实数 上的 通常排序 满足 稠密性, 而 自然数 与整数上的通常排序不满足该性质.

4. 相关性质

命题 4 (稠密性的开集判据)

设 为 拓扑空间, . 则 满足 稠密性 当且仅当不存在与 不相交的非空 开集.

证明 5 (稠密性的开集判据)

这正是“对每个非空开集 都有 ”的等价表述.

命题 6 (稠密性对扩大子集保持)

设 为 拓扑空间, 且 . 若 在 中满足 稠密性, 则 也在 中稠密.

证明 7 (稠密性对扩大子集保持)

任意非空 开集 都满足 , 又因 , 故 .

5. 相关概念

• 拓扑空间
• 开集
• 离散性
• 通常排序

6. 术语翻译

中文	英文
稠密性	density
稠密子集	dense subset
稠密序	dense order

一般数学 拓扑性质