连通性

1. 概述

于一般拓扑中, 连通性 描述一个 拓扑空间 能否被分成两个彼此分离的非空部分. 在 序论 中, 该术语也用于表示任意两个不同 元素 都可比较.

2. 定义

定义 1 (拓扑空间的连通性)

设 为 拓扑空间. 称 满足 连通性, 当同时为 开集 与 闭集 的 子集 只有 与 .

定义 2 (关系的连通性)

设 为 集合, 为 上的 二元关系. 称 满足 连通性, 当：

在 序关系 的语境中, 该条件表示任意两个不同元素皆可比较.

3. 例子

例子 3 (初步例子)

• 具有通常拓扑的 实数集合 满足 连通性;
• 空集 与任意 单点集 都满足拓扑意义下的连通性;
• 含至少两个元素的离散拓扑空间不连通, 因为任意非空真子集都同时为 开集 与 闭集;
• 任意 全序 都满足 关系的连通性.

4. 相关性质

命题 4 (具有公共点的连通子集之并仍连通)

设 为 拓扑空间, 为非空 集合, 为一族满足 连通性 的 子集. 若 , 则 也满足连通性.

证明 5 (具有公共点的连通子集之并仍连通)

若 可分成两个彼此分离的非空开闭部分, 则每个连通的 只能完全落在其中一部分. 由于所有 具有公共点, 它们必须落在同一部分, 与另一部分非空矛盾.

命题 6 (离散且连通的空间至多含一个点)

设 同时满足 离散性 与 连通性, 则 为 空集 或 单点集.

证明 7 (离散且连通的空间至多含一个点)

若 至少含两个点, 任取 , 则 是非空真子集, 且由 离散性 同时为 开集 与 闭集, 与 连通性 矛盾.

5. 相关概念

• 拓扑空间
• 开集
• 闭集
• 离散性
• 全序集

6. 术语翻译

中文	英文
连通性	connectedness
关系的连通性	connexity / totality

一般数学 拓扑性质