不可约代数集

1. 概述

于 代数几何 中, 不可约代数集 是不能写成两个真闭子集之并的非空代数集. 它在代数上对应素理想.

注记 1 (直观理解)

参数化中出现两种走向不必意味着代数集可约; 尖点和节点曲线都可能仍由一个不可约方程定义. 真正的判别来自 消去理想 是否为 素理想, 或等价地来自 坐标环 是否为 整环.

2. 定义

定义 2 (不可约代数集)

设 为 仿射代数集. 若 , 且由 与 为 的闭子集必能推出 或 , 则称 为 不可约代数集.

3. 例子

例子 3 (仿射空间)

对任意无限 域 , 仿射空间 是 不可约代数集, 因为其 坐标环 是 整环.

例子 4 (尖点与两轴之并)

设 为 代数闭域. 尖点曲线 是 不可约代数集, 因为 是 整环. 相比之下, 可写成两个真闭子集之并, 且其 坐标环 含有 零因子 .

4. 相关性质

命题 5 (素理想判别)

设 为 仿射代数集. 则 是 不可约代数集, 当且仅当其 消去理想 是 素理想; 等价地, 坐标环 是整环.

证明 6 (素理想判别)

若 在 上处处为零, 则 , 其中 与 均为 的闭子集.

充分性 ( )

若 不可约, 则 或 , 即 或 , 因而 是 素理想.

必要性 ( )

若 是素理想且 , 其中 是 的闭子集, 则 不可能都是 的真闭子集. 否则可取在 上处处为零但不在 上处处为零的多项式 , 以及在 上处处为零但不在 上处处为零的多项式 . 此时 而 , 与素性矛盾. 因此 不可约. 这正是素理想条件.

最后, 是素理想当且仅当商环 是 整环.

5. 相关概念

• 仿射簇
• 素理想
• 不可约分支
• Zariski 拓扑

6. 术语翻译

中文	英文
不可约代数集	irreducible algebraic set