代数闭域

1. 概述

于 Galois 理论 中, 代数闭域 是每个非常数一元多项式都有根的域. 在这样的底域上, 多项式理想与几何零点的对应最为直接.

2. 定义

定义 1 (代数闭域)

设 为 域. 若每个次数大于 的多项式 都在 中有根, 则称 为 代数闭域.

3. 例子

例子 2 (复数域)

由代数学基本定理, 复数 域 是 代数闭域; 实数 域 不是, 因为 在 中没有根.

4. 相关性质

命题 3 (完全分裂判别)

域 是 代数闭域, 当且仅当每个非常数多项式 都分裂为一次因子之积.

证明 4 (完全分裂判别)

充分性 ( )

若 代数闭, 逐次提出一个线性因子并对次数归纳即可完全分裂.

必要性 ( )

完全分裂的非常数多项式显然具有 中的根.

5. 相关概念

• 代数闭包
• 分裂域
• Hilbert 零点定理
• 仿射簇

6. 术语翻译

中文	英文
代数闭域	algebraically closed field