仿射代数集

1. 概述

于 代数几何 中, 仿射代数集 是仿射空间中由多项式方程共同定义的子集. 它是经典仿射代数几何的基本对象.

注记 1 (方法与视角)

给定方程先取公共 零点集, 得到几何对象; 再取其 消去理想 与 坐标环, 就把几何问题转回环论. 参数化可以产生大量点并揭示结构, 但是否等于整个零点集仍需结合方程或坐标环检验.

2. 定义

定义 2 (仿射代数集)

设 为 域, . 若存在 , 使 , 则称 为 仿射代数集.

3. 例子

例子 3 (平面曲线)

集合 是 仿射代数集, 它描述仿射平面中的抛物线.

例子 4 (尖点曲线与节点曲线)

设 为特征不等于 的 代数闭域. 尖点曲线 与节点三次曲线 都是 中的 仿射代数集. 前者可由 参数化; 后者在原点有两个切向不同的局部分支.

4. 相关性质

命题 5 (仿射代数集对交与有限并封闭)

设 为一族 仿射代数集, 为仿射代数集. 则：

1. 是仿射代数集;
2. 是仿射代数集;
3. 与 是仿射代数集.

证明 6 (仿射代数集对交与有限并封闭)

1. 若 , 则 .
2. 若 、, 则 .
3. 有 与 .
   

定理 7 (Hilbert 零点定理的弱形式)

设 为 代数闭域, 为 多项式环 的 极大理想. 则存在 , 使得：

证明 8 (Hilbert 零点定理的弱形式)

Zariski 引理在代数闭域上的情形

先证明：若 域 是 代数闭域 上的 有限型代数, 则 . 写 , 从这些生成元中取一个极大的 代数独立 子集 , 其余生成元记为 . 则每个 都是 上的 代数元. 将它们满足的首一多项式的系数写成分式, 取所有分母之积 , 则每个 都是 上的 整元素.

因为 是域, 有 . 由各个首一关系约化幂次, 是 有限生成 -模. 对任意 , 在一组 -模生成元上表示乘以 的作用, 行列式技巧给出 满足的首一多项式：矩阵 的伴随矩阵表明 消灭全部生成元, 因而也消灭 . 故 是 的 整扩张. 对任意 , 元素 满足首一关系 , 其中 . 乘以 得 , 所以 是域.

若 , 因 无限, 可取 使 . 但 在 中不可逆：否则存在 与 使 , 代入 即得矛盾. 故 , 全部生成元在 上代数, 是有限 代数扩张; 再由 代数闭, 得 .

应用于极大理想的商环

设 . 因 是 极大理想, 商环 是 域, 且由 的像生成为 上的有限型代数. 由本证明中的 Zariski 引理, . 设 的像为 , 则 当且仅当 . 对任意 , 逐变量相减可得 , 故 .

定理 9 (Hilbert 零点定理)

设 为 代数闭域, 为 多项式环 的 理想. 则其 零点集 的 消去理想 等于 的 理想的根：

证明 10 (Hilbert 零点定理)

若 属于 理想的根 , 则存在整数 使 . 对任意 , 有 , 因 是 域, 得 . 故 .

设 属于 零点集 的 消去理想 . 若 , 则显然 . 以下设 , 在 多项式环 中考虑 理想 . 若 是 真理想, 由 极大理想的存在性 可取包含 的 极大理想. 由 Hilbert 零点定理的弱形式, 存在 使 中的多项式均在该点为零. 因而 且 , 这与 矛盾.

故 , 存在有限多个 及 , 使得：

在 的 分式域 中代入 , 再乘以足够高次的 清除分母, 其中 , 得：

这里每个 都属于 , 故 .

例子 11 (零点集不能区分理想与其根)

设 为 代数闭域, 为 多项式环 的 理想. 其 零点集 是 仿射代数集, 对应的 消去理想 为 . 由 Hilbert 零点定理, 这正是 的 理想的根 , 而不等于原理想 .

5. 相关概念

• 零点集
• 消去理想
• Zariski 拓扑
• 仿射簇

6. 术语翻译

中文	英文
仿射代数集	affine algebraic set
Hilbert 零点定理	Hilbert’s Nullstellensatz