零因子

1. 概述

于 环论 中, 零因子 是与某个非零元素相乘得到零的非零元素. 零因子的缺失正是 整环 的核心条件.

2. 定义

定义 1 (零因子)

设 为 交换环, 且 . 称 为 零因子, 当存在非零 使 .

3. 例子

例子 2 (模整数环中的零因子)

在 整数模 环 中, 与 均非零且 , 因而它们都是 定义 1 (零因子).

4. 相关性质

命题 3 (有限交换环中的非单位)

设 为有限非零 交换环, . 则 是非单位当且仅当 或 是 定义 1 (零因子).

证明 4 (有限交换环中的非单位)

充分性 ( )

若 是非单位, 上的乘法映射 不是满射, 因而在有限集上也不是单射. 于是存在 使 , 所以 且 . 若 , 它就是 零因子.

必要性 ( )

零元不是单位. 若 是零因子且又是单位, 从 左乘 将得到 , 与零因子定义中的 矛盾.

5. 相关概念

• 整环
• 幂零元
• 单位

6. 术语翻译

中文	英文
零因子	zero divisor