仿射簇的态射

1. 概述

于 代数几何 中, 仿射簇的态射 是坐标函数均为正则函数的映射. 它在坐标环上诱导反方向的代数同态.

注记 1 (方法与视角)

曲线参数化不仅是写出点的公式, 也是从参数空间到曲线的 态射. 把坐标函数沿参数化拉回, 就能在反方向得到 坐标环 同态, 并用其像判断参数是否已经给出曲线的全部全局正则函数.

2. 定义

定义 2 (仿射簇的态射)

设 与 为 仿射簇. 若映射 的每个坐标函数都是 上的 正则函数, 则称 为 仿射簇的态射.

3. 例子

例子 3 (抛物线的参数化)

映射：

是 仿射簇的态射, 且其逆映射为坐标投影 .

例子 4 (尖点曲线的参数化)

设 为 代数闭域, . 映射：

是 仿射簇的态射. 它诱导反方向的 -代数同态：

其像为 . 与抛物线参数化不同, 虽然是有限双有理态射, 却不是同构, 因为 .

4. 相关性质

定理 5 (仿射簇与坐标环的反变对应)

对 仿射簇 , 拉回给出自然 双射：

证明 6 (仿射簇与坐标环的反变对应)

态射 以 诱导 -代数同态 . 反之, 代数同态在坐标函数上的像给出 上的正则函数并组成到 的态射; 两个构造互逆.

5. 相关概念

• 正则函数
• 坐标环
• 仿射簇
• 有理映射

6. 术语翻译

中文	英文
仿射簇的态射	morphism of affine varieties