Zariski 拓扑

1. 概述

于 代数几何 中, Zariski 拓扑 把多项式方程的零点集规定为闭集. 它通常远比 Euclid 拓扑粗, 但能准确反映多项式和理想的代数结构.

2. 定义

定义 1 (Zariski 拓扑)

设 为 域. 称以 中所有 仿射代数集 为 闭集 的 拓扑 为仿射空间上的 Zariski 拓扑.

定义 2 (素谱上的 Zariski 拓扑)

设 为 交换环. 对每个 理想 , 令：

为 素谱 中的 闭集, 对任意单个元素 , 定义 开集 为：

由这些 拓扑基 所生成 拓扑 称为 素谱 上的 Zariski 拓扑.

3. 例子

例子 3 (仿射直线)

若 是无限域, 则 的 Zariski 拓扑 中闭集恰为有限子集与整个空间.

4. 相关性质

命题 4 (非空开集稠密)

设 为无限 域. 在 的 Zariski 拓扑 中, 每个非空开集都是稠密的.

证明 5 (非空开集稠密)

仿射空间的坐标环 是 整环, 因而 在 Zariski 拓扑 下不可约. 不可约空间中任意两个非空开集相交, 故每个非空开集稠密.

5. 相关概念

• 仿射代数集
• 不可约代数集
• 主开集
• 素谱

6. 术语翻译

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Zariski 拓扑	Zariski topology