主开集

1. 概述

于 代数几何 中, 主开集 是一个多项式不取零的点组成的 Zariski 开集. 它们构成仿射代数集拓扑的一组基.

注记 1 (直观理解)

从 中删去函数 的零点, 就进入 . 在代数上, 这正对应把 变成可逆元, 因而 主开集 是连接几何删点与 局部化 的基本桥梁.

2. 定义

定义 2 (主开集)

设 为 仿射代数集, . 称集合：

为由 定义的 主开集.

记号 3 (主开集)

由 定义的 主开集 记为 或 .

3. 例子

例子 4 (仿射直线上的主开集)

设 为 代数闭域. 在 中, 是一个 主开集. 若 , 则：

因而 在 上属于 正则函数环, 却不属于整条仿射直线的整体截面环 .

4. 相关性质

命题 5 (主开集构成拓扑基)

仿射代数集 的全部 主开集 构成其 Zariski 拓扑 的一组基, 且 .

证明 6 (主开集构成拓扑基)

任意 Zariski 开集是某个 的补集, 即 . 交公式由 当且仅当二者均非零得到.

对 仿射簇 及其 坐标环 , 仿射簇及主开集上的正则函数环 的第 2 条给出 . 此处 是 局部化.

5. 相关概念

• Zariski 拓扑
• 正则函数
• 局部化
• 正则函数环
• 仿射概形

6. 术语翻译

中文	英文
主开集	principal open set