覆盖变换

1. 概述

于 代数拓扑 中, 覆盖变换 是不改变投影的总空间自同胚, 描述 覆盖映射 在各层之间的对称性.

2. 定义

定义 1 (覆盖变换)

设 为 覆盖映射. 满足 的 同胚 称为 的 覆盖变换.

记号 2 (覆盖变换)

覆盖变换 全体在复合下形成的 群 记为 .

3. 例子

例子 3 (指数覆盖的整数平移)

对 覆盖映射 , 每个整数平移 都是 覆盖变换. 反之, 给出 , 连续性及实线连通性使这个整数恒定. 因此 同构于 整数加法群.

4. 相关性质

命题 4 (覆盖变换构成群)

对任意 覆盖映射 , 覆盖变换 在复合下构成 群.

证明 5 (覆盖变换构成群)

恒等映射保持投影; 若 且 , 则 . 若 , 右复合 得 . 同胚 的复合与逆仍是同胚, 复合满足结合律, 因而 覆盖变换 构成 群.

命题 6 (连通覆盖的变换由一点确定)

设 为 覆盖映射, 是 道路连通空间. 若两个 覆盖变换 在一点 的取值相同, 则二者相等. 特别地, 非恒等覆盖变换没有不动点.

证明 7 (连通覆盖的变换由一点确定)

对任意 , 取从 到 的 道路 . 若 覆盖变换 在 相等, 则 是 的起点相同的 道路提升. 由 道路提升的存在唯一性, 二者相等, 故 . 将 取为恒等映射即得最后结论.

定理 8 (连通覆盖的分类与覆盖变换群)

设 为 道路连通空间, 每点有道路连通的开邻域基, 且满足 泛覆盖的存在判别 的局部条件. 固定 . 则：

1. 带有指定点 的道路连通 覆盖映射 的保基点同构类, 与 基本群 的 子群 一一对应, 对应为 . 这里覆盖的同构指与投影相容的总空间 同胚;
2. 遗忘总空间的指定点后, 同构类对应于 中子群的共轭类;
3. 对上述覆盖, 覆盖变换 群同构于 , 其中 . 对 泛覆盖, 特别有 .

5. 相关概念

• 覆盖映射
• 泛覆盖
• 群作用
• 基本群

6. 术语翻译

中文	英文
覆盖变换	deck transformation
覆盖变换群	deck transformation group

代数拓扑