多元函数的极限

1. 概述

于 数学分析 中, 多元函数的极限 把一元 函数极限 的接近概念推广到 Euclid 空间, 是多元连续性与微分的基础.

2. 定义

定义 1 (多元函数的极限)

设 , 为 向量值函数, 为 的聚点, . 称 在 趋于 时的 极限 为 , 当：

记号 2 (多元函数的极限)

多元函数的极限 记为 .

3. 例子

例子 3 (线性函数的极限)

设 为 线性映射. 则 , 因为 对某个 成立.

4. 相关性质

命题 4 (极限的唯一性)

若 向量值函数 在 处的 多元函数的极限 同时为 与 , 则 .

证明 5 (极限的唯一性)

若 , 令 . 两个极限定义分别给出 . 取 . 由 是 的聚点可取 使 . 此时 且 , 因而由三角不等式 , 与 矛盾.

定理 6 (序列判别法)

设 , 为 的聚点. 则 当且仅当对每个 中满足 且 的 序列, 都有 .

5. 相关概念

• Euclid 空间;
• 多元连续性;
• 全微分;
• 序列极限.

6. 术语翻译

中文	英文
多元函数的极限	limit of a multivariable function
序列判别法	sequential criterion

数学分析