Jacobian 矩阵

1. 概述

于 数学分析 中, Jacobian 矩阵 用坐标记录 全微分 的线性部分. 它把多元函数的局部变化转化为矩阵计算.

2. 定义

定义 1 (Jacobian 矩阵)

设 , , 为 向量值函数, 且所有 与 的偏导数 均存在. 定义 Jacobian 矩阵：

记号 2 (Jacobian 矩阵)

写 , Jacobian 矩阵 也记为 ; 当 时其行列式记为 .

3. 例子

例子 3 (极坐标变换)

映射 的 Jacobian 矩阵 为：

4. 相关性质

命题 4 (全微分的矩阵表示)

若 向量值函数 在 处具有 全微分, 则在标准基下：

证明 5 (全微分的矩阵表示)

对每个标准基向量 , 由 偏导数 与全微分的关系有 . 线性映射 的第 列正是该向量, 故其矩阵为 .

定理 6 (Jacobian 链式法则)

设 , , , , 且 在 处、 在 处可微. 若 在 的某邻域内取值于 , 则：

5. 相关概念

• 全微分;
• 偏导数;
• 多元链式法则;
• 行列式.

6. 术语翻译

中文	英文
Jacobian 矩阵	Jacobian matrix
Jacobian 行列式	Jacobian determinant

数学分析