环同态的像

1. 概述

于 环论 中, 环同态的 像 是陪域中实际由定义域元素取到的全部元素所构成的 子环. 它衡量 环同态 偏离 环满同态 的程度.

2. 定义

定义 1 (环同态的像)

设 为 环, 为 环同态. 称：

为 的 像.

3. 例子

例子 2 (包含映射的像)

设 为 子环, 为包含映射, 则其 环同态的像 满足 .

例子 3 (像未必是理想)

对包含映射 , 其 环同态的像 为 . 它是 的子环, 但不是 理想, 因为 而 .

4. 相关性质

命题 4 (环同态的像是子环)

设 为 环同态, 则 是 的 子环.

证明 5 (环同态的像是子环)

因 , 有 . 对 , 有 与 . 由 子环判别法, 是 的子环.

命题 6 (复合环同态的像)

设 与 为 环同态, 则：

1. ;
2. 若 为 环满同态, 则 .

证明 7 (复合环同态的像)

1. 两边都等于 .
2. 若 为满射, 则 , 所以由 (1) 得 .
   

推论 8 (满像判别)

环同态 为 环满同态 当且仅当其 环同态的像 满足 .

证明 9 (满像判别)

这是 环满同态的像判别.

5. 相关概念

• 环同态
• 环同态的核
• 环满同态
• 子环

6. 术语翻译

中文	英文
环同态的像	image of a ring homomorphism