1. 概述 于 环论 中, 素元 是整除一个乘积时必整除至少一个因子的非零非单位. 每个素元都是 不可约元, 反命题一般不成立. 2. 定义 定义 1 (素元) 设 为 整环, 为非零非 单位. 称 为 素元, 当对任意 ： 3. 例子 例子 2 (整数中的素元) 在 整数环 中, 素元 恰为 , 其中 为 正素数. 4. 相关性质 命题 3 (素元的主理想刻画) 设 为 整环, 为非零非单位. 则 为 定义 1 (素元) 当且仅当 主理想 是 素理想. 证明 4 (素元的主理想刻画) 充分性 ( ) 若 是 素元 且 , 则 , 从而 或 , 即 或 . 所以 是素理想. 必要性 ( ) 若 是素理想且 , 则 , 从而 或 , 即 或 . 所以 是素元. 命题 5 (素元必不可约) 设 为 整环. 每个 定义 1 (素元) 都是 不可约元. 证明 6 (素元必不可约) 设 . 因 , 有 或 . 若 , 写 , 则 ; 在整环中消去非零元 得 , 所以 是单位. 另一情形同理. 5. 相关概念 不可约元 素理想 整除 6. 术语翻译 中文英文素元prime element