不可约元

1. 概述

于 环论 中, 不可约元 是不能非平凡分解为两个非单位乘积的元素. 它推广了整数中的素数, 但在一般整环中未必是 素元.

2. 定义

定义 1 (不可约元)

设 为 整环, 为非零非 单位. 称 为 不可约元, 当对任意 ：

3. 例子

例子 2 (整数中的不可约元)

在 整数环 中, 不可约元 恰为 , 其中 为 正素数.

4. 相关性质

命题 3 (不可约性的主理想刻画)

设 为 整环, 为非零非单位. 则 为 不可约元 当且仅当不存在主理想 使：

证明 4 (不可约性的主理想刻画)

充分性 ( )

若 不可约且 , 则 . 不可约性说明 或 是单位; 前者给出 , 后者给出 .

必要性 ( )

若不存在严格夹在 与 之间的主理想, 且 , 则 . 因而 或 , 分别推出 或 是单位.

5. 相关概念

• 素元
• 单位
• 相伴元

6. 术语翻译

中文	英文
不可约元	irreducible element