函数环

1. 概述

于 环论 中, 函数环 是从同一 集合 到一个 环 的函数在逐点运算下形成的环. 多项式函数、连续函数 与 正则函数 在适当条件下给出它的子环.

2. 定义

定义 1 (函数环)

设 为 集合, 为 交换环. 全体函数 以 、 为运算, 构成的 交换环 称为从 到 的 函数环.

记号 2 (函数环)

从 到 的 函数环 记为 ; 其零元与幺元分别是常值函数 与 .

3. 例子

例子 3 (仿射直线上的多项式函数)

设 为无限 域, . 每个 多项式环 的元素 给出 上的 多项式函数 . 由于 无限, 不同多项式给出不同函数, 故 可识别为 函数环 的子环. 形式不定元 在这个识别下成为读取点坐标的函数.

例子 4 (有限域上的区别)

设 为 有限域. 在 多项式环 中, 不是零多项式, 却在每个 处取值为零. 因而形式多项式环到 函数环 的求值映射并非单射.

4. 相关性质

命题 5 (逐点定义的子环)

设 为 拓扑空间, 为拓扑 交换环. 全体 连续函数 在逐点运算下构成 函数环 的子环.

证明 6 (逐点定义的子环)

常值函数 、 连续. 两个连续函数的和、积与相反数连续, 故它们对 函数环 的运算封闭.

5. 相关概念

• 多项式函数
• 多项式环
• 正则函数环
• 求值同态

6. 术语翻译

中文	英文
函数环	ring of functions