正则函数环

1. 概述

于 代数几何 中, 正则函数环 是 结构层 在 开集 上的截面环. 在一般 概形 上, 截面首先是层的元素, 不必是由点值确定的函数; 对 代数闭域 上的经典 仿射簇, 才可将它们视为逐点运算的 正则函数. 整体情形与 坐标环 对应, 主开集 上则由 局部化 描述.

注记 1 (方法与视角)

记录整个空间上的函数, 允许把 倒置后观察一个主开邻域, 而 点处局部环 则只保留点 附近的函数芽. 从整体到开集再到点处, 所保留的信息越来越局部.

2. 定义

定义 2 (正则函数环)

设 为 概形, 为其 结构层, 为 开集. 截面 交换环 称为 上的 正则函数环. 当 是 代数闭域 上的 仿射簇 时, 其元素是 上的 正则函数, 环运算按逐点定义.

记号 3 (正则函数环)

上的 正则函数环 记为 . 当 时, 称为整体截面环; 它由 截面 的一般记号给出.

3. 例子

例子 4 (仿射直线与删点开集)

设 为 代数闭域, . 正则函数环 , 而 主开集 上有 . 函数 属于后者, 却不能在 处正则.

例子 5 (双曲线上的倒数)

设 为 代数闭域, 为 仿射簇. 在其 坐标环 中有 , 所以 与坐标函数 是同一个全局 正则函数, 均属于 正则函数环 .

例子 6 (尖点曲线的整体与删点截面)

设 为 代数闭域, , 且 . 整体 正则函数环 为 , 不含 . 在 主开集 上, 可逆且 , 因而 .

4. 相关性质

命题 7 (仿射簇及主开集上的正则函数环)

设 为 仿射簇, 为其 坐标环, . 则：

1. ;
2. 对 主开集 , 有 .

证明 8 (仿射簇及主开集上的正则函数环)

1. 由 仿射簇上的整体正则函数, 整体 正则函数环 自然同构于 .
2. 若 , 则 , 空集上的 结构层 截面环 为 零环; 将 倒置所得的 局部化 亦为零环, 故结论成立. 若 , 在 中取 . 投影 的逆映射为 , 因而 与 仿射簇 同构. 的 坐标环 为 ; 对 应用 仿射簇上的整体正则函数, 得 .
   

例子 9 (点处局部环与剩余域)

设 为 域, , 且 . 结构层 的整体 截面环 为 ; 点处的 茎 是 点处局部环 , 其 剩余域 才是 .

5. 相关概念

• 正则函数
• 函数环
• 坐标环
• 结构层
• 点处局部环

6. 术语翻译

中文	英文
正则函数环	ring of regular functions