行列式

1. 概述

于 线性代数 中, 行列式 是赋予 方阵 的标量, 既判别可逆性, 也描述实 线性变换 的有向体积缩放.

2. 定义

定义 1 (行列式)

设 为 域, , . 的 行列式 定义为：

其中 为 对称群, , 为 置换 的逆序数.

3. 例子

例子 2 (基本例子)

对二阶 方阵, 行列式 为 . 对角矩阵 的行列式为 .

4. 相关性质

命题 3 (行列式的基本性质)

设 为同一 域 上的 阶 方阵. 则 行列式 满足：

1. 对各行分别线性, 交换两行使符号反转, 两行相同时为零;
2. ;
3. .

命题 4 (可逆性的行列式判别)

域 上的 方阵 存在 逆矩阵 当且仅当其 行列式 非零.

证明 5 (可逆性的行列式判别)

充分性 ( )

若 , 由 行列式的基本性质 第 2 条有 , 故 .

必要性 ( )

对 作 高斯消元. 交换行、非零倍乘行及加行倍数都保持行列式是否为零. 若消元后有零行, 行列式为零, 矛盾. 因此每行都有主元, 可继续化为 , 反向操作给出 逆矩阵.

5. 相关概念

• 方阵
• 逆矩阵
• 交替形式

6. 术语翻译

中文	英文
行列式	determinant