1. 概述 于 群论 中, 平凡作用 是指 群 中每个元素都保持所作用 集合 中的每个元素不变的 群作用. 2. 定义 定义 1 (平凡作用) 设 为 群, 为 集合, 定义 映射： 由于该映射满足 单位律 与 相容性, 为 在 上的 群作用, 称为 平凡作用. 换言之： 3. 例子 例子 2 (单点集上的群作用) 设 为 群, 为 单点集. 则 在 上仅有一个 群作用, 且该作用为 平凡作用, 因为对任意 都只能有 . 4. 相关性质 命题 3 (诱导同态取恒等置换) 设 在 集合 上作 平凡作用, 为 上的 对称群. 则该作用诱导的 群同态： 恒取 对称群 的 幺元 . 证明 4 (诱导同态取恒等置换) 对任意 与 , 由 平凡作用 有 , 因此 诱导的 映射 即为 . 命题 5 (单点集上作用的唯一性) 设 为 群, 为 单点集, 则 在 上的 群作用 具有 唯一性, 且必为 平凡作用. 证明 6 (单点集上作用的唯一性) 设 . 任意 映射 都只能将每个 映至 , 因而只能是 平凡作用. 5. 相关概念 群作用 左正则作用 6. 术语翻译 中文英文平凡作用trivial action