群同态的核

1. 概述

于 群论 中, 群同态的 核 是被映至陪域幺元的全部元素所构成的 正规子群. 它衡量 群同态 偏离 群单同态 的程度, 并决定相应的 商群.

更一般地, 群同态的核是 范畴论 中 核 的一个具体实例.

2. 定义

定义 1 (群同态的核)

设 为 群, 为 群同态. 称：

为 的 核.

3. 例子

例子 2 (商群投影的核)

设 为 群, 为 正规子群. 对 商群 的典范投影：

其 群同态的核 满足 .

例子 3 (模 投影的核)

对任意 , 定义 映射：

则 是从 整数加法群 到 整数模 加法群 的 群满同态, 且其 群同态的核 为 .

4. 相关性质

命题 4 (群同态的核是正规子群)

设 为 群同态, 则 是 的 正规子群.

证明 5 (群同态的核是正规子群)

由 , 有 . 若 , 则：

故 对乘法与取逆封闭; 结合律 从 继承, 因而由 子群 的定义, 是 的子群. 再对任意 与 , 有：

故 . 将 换为 可得反向包含, 因此 . 由 正规子群 的定义即得结论.

命题 6 (复合群同态的核)

设 与 为 群同态, 则：

1. ;
2. 若 为 群单同态, 则 .

证明 7 (复合群同态的核)

1. 若 , 则 , 故 .
2. 若 , 则 . 由 的单射性得 , 所以 ; 结合 (1) 即得等式.
   

推论 8 (平凡核判别)

群同态 为 群单同态 当且仅当其 群同态的核 满足 .

证明 9 (平凡核判别)

这是 群单同态的平凡核判别.

5. 相关概念

• 群同态
• 群同态的像
• 群单同态
• 正规子群
• 商群
• 核

6. 术语翻译

中文	英文
群同态的核	kernel of a group homomorphism