循环群

1. 概述

于 群论 中, 循环群 是能够由一个元素 生成 的 群. 每个循环群都是 交换群, 并且在 群同构 意义下只有无限循环群 与各个有限循环群 .

2. 定义

定义 1 (循环群)

设 为 群. 称 为 循环群, 当存在 使：

此时称 为 的一个生成元.

3. 例子

例子 2 (基本循环群)

• 整数加法群 是无限 定义 1 (循环群);
• 整数模 加法群 是群阶为 的循环群;
• 每个 -循环 在 对称群 中生成一个群阶为 的循环子群 .

4. 相关性质

命题 3 (循环群的分类)

设 为 定义 1 (循环群). 若 的阶为 , 则 ; 若 的阶为 , 则 .

证明 4 (循环群的分类)

定义 群同态 为 . 由 , 为 满射. 若 , 则 , 故 为 群同构. 若 , 则 , 而 只依赖于 的模 同余类, 故诱导出同构 .

命题 5 (循环群的子群仍循环)

设 为 循环群, , 则 也是循环群.

证明 6 (循环群的子群仍循环)

若 , 则 . 否则取最小的正整数 使 . 对任意 , 以带余除法写 且 , 则 . 由 的最小性得 , 故 .

命题 7 (有限循环群中幂的阶)

若 , 则 . 特别地, 生成 当且仅当 .

证明 8 (有限循环群中幂的阶)

当且仅当 . 使该整除关系成立的最小正整数 为 .

5. 相关概念

• 生成
• 交换群
• 群阶

6. 术语翻译

中文	英文
循环群	cyclic group
生成元	generator