$2$-元组

1. 概述

有序对 (或称 -元组) 是指两个 元素 按序组合在一起形成的组. 这个概念可推广至 个元素的组, 详情可参阅 -元组.

2. 定义

2.1. 公理化集合论 中的定义

定义 1 (标准的 Kuratowski 定义)

设 为任意 元素, 定义 有序对 为：

定义 2 (空集定义)

设 为任意 元素, 定义 有序对 为：

定义 3 (Wiener 定义)

设 为任意 元素, 定义 有序对 为：

3. 例子

例子 4 (顺序的重要性)

对不同元素 , 有序对 与 分别以 与 为第一坐标, 因而 .

4. 相关性质

命题 5 (定义等价)

上述 定义 1 (标准的 Kuratowski 定义), 定义 2 (空集定义) 以及 定义 3 (Wiener 定义) 通常并不是彼此相等的集合, 但它们都满足有序对的特征性质

因而都可用于编码相同的坐标资料.

命题 6 (有序对的相等判据)

设 为任意 元素, 及 为有序对, 则：

命题 7 (有序对非交换)

假设 为不同的 元素, 则有序对 .

证明 8 (有序对非交换)

通过 命题 6 (有序对的相等判据) 直接得证.

5. 相关概念

• Cartesian 积
• -元组
• -元组
• 映射

6. 术语翻译

中文	英文
有序对	ordered pair
-元组	-tuple

集合论