边界

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 边界 是任意邻域都同时接触一个子集及其补集的点所组成的集合. 它分隔子集的内部与外部.

2. 定义

定义 1 (边界)

设 为 拓扑空间 的 子集. 称：

为 的 边界.

3. 例子

例子 2 (区间的边界)

在具有 通常拓扑 的 中, 对 , 开区间 与闭区间 的 边界 都是 .

4. 相关性质

命题 3 (边界的基本刻画)

设 . 边界 满足：

1. 为 闭集;
2. , 且该并不交;
3. ;
4. 当且仅当 同时为 开集 与闭集.

证明 4 (边界的基本刻画)

1. 由 闭包 为闭集及闭集对有限交封闭得证.
2. 由 得 .
3. 交换定义中两个闭包的次序即可.
4. 由第 2 条及其对 的应用得证.
   

5. 相关概念

• 内部
• 闭包
• 开集
• 闭集

6. 术语翻译

中文	英文
边界点	boundary point
边界	boundary

一般拓扑