紧致子集

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 紧致子集 是带有 子空间拓扑 后成为紧致空间的子集. 它把紧致性应用到空间的局部区域.

2. 定义

定义 1 (紧致子集)

设 为 拓扑空间 的 子集. 若 带有 子空间拓扑 后是 紧致空间, 则称 为 的 紧致子集.

3. 例子

例子 2 (实数中的紧致子集)

在具有 通常拓扑 的 中, 每个闭且有界的子集都是 紧致子集, 例如 与有限集.

4. 相关性质

命题 3 (紧致空间的闭子集紧致)

若 是 紧致空间, 是 闭集, 则 是 紧致子集.

证明 4 (紧致空间的闭子集紧致)

设 是 的 开覆盖. 将各 写成 , 其中 在 中开. 则 连同 覆盖 . 取有限子覆盖并去掉 , 得到 的有限子覆盖.

命题 5 (Hausdorff 空间中的紧致子集闭)

若 是 Hausdorff 空间, 则每个 紧致子集 都是 闭集.

证明 6 (Hausdorff 空间中的紧致子集闭)

固定 . 对每个 , 取不交开邻域 与 . 由紧致性, 有限多个 覆盖 . 此时 是 的开邻域且与 不交. 故 开.

5. 相关概念

• 紧致空间
• 局部紧致空间
• 闭集
• 子空间拓扑

6. 术语翻译

中文	英文
紧致子集	compact subset

一般拓扑