素理想处的局部化

1. 概述

于 交换代数 中, 素理想处的局部化 把不属于给定素理想的元素全部变为单位. 它只保留素理想附近的局部代数信息.

注记 1 (动机)

当问题只关心一个 素理想 附近的行为时, 与 无关的元素应当可以忽略其不可逆性. 素理想处的局部化 通过把这些元素变为单位, 将全局环压缩成适合研究 的局部环境.

注记 2 (直观理解)

在 中, 中的元素都可作为分母, 因而只有来自 的不可逆行为被保留下来. 这使 成为唯一 极大理想, 所得环自然成为 局部环.

注记 3 (方法与视角)

研究时常对环、理想或模同时施行 素理想处的局部化, 再借助 剩余域 比较点上的信息. 在 代数几何 中, 这一构造通过 结构层 的茎产生 点处局部环, 将素理想与几何点附近的函数联系起来.

2. 定义

定义 4 (素理想处的局部化)

设 为 交换环, 为 的 素理想. 以乘法闭集 构造的 局部化 称为 在 处的 局部化.

记号 5 (素理想处的局部化)

素理想处的局部化 记为 .

3. 例子

例子 6 (整数环在素数处的局部化)

对 素数 , 是 在素理想 处的 素理想处的局部化.

4. 相关性质

命题 7 (素理想处的局部化是局部环)

设 为 交换环, 为 的 素理想. 则：

1. 素理想处的局部化 是 局部环, 其唯一 极大理想 为 ;
2. 其 剩余域 与 典范同构：

证明 8 (素理想处的局部化是局部环)

1. 若 且 , 则存在 使 , 故 . 由于 且 素, 得 . 反向显然, 因而 当且仅当 . 此时 是其逆元, 且 为真理想; 所以该理想外的每个元素都是单位, 故它是唯一极大理想.
2. 由局部化与商相容, 得到典范同构：

5. 相关概念

• 局部化
• 局部环
• 模的局部化
• 点处局部环

6. 术语翻译

中文	英文
素理想处的局部化	localization at a prime ideal