函数域

1. 概述

于 代数几何 中, 函数域 是一个不可约代数簇上全部有理函数组成的域. 它在双有理等价下保持不变.

注记 1 (方法与视角)

函数域 忘掉有限个或更低维的例外位置, 因而适合比较 双有理等价 的几何对象. 圆锥曲线的有理参数化 往往使函数域成为 , 而一般 椭圆曲线 的函数域虽仍可用两个生成元和一个关系描述, 却不与 同构.

2. 定义

定义 2 (函数域)

设 为 代数簇. 称 上全部 有理函数 在逐点加法与乘法下组成的 域 为 的 函数域.

记号 3 (函数域)

的 函数域 记为 .

3. 例子

例子 4 (仿射空间)

仿射空间 的 函数域 是有理函数域 .

例子 5 (抛物线)

设 为 代数闭域. 抛物线 的 坐标环 同构于 , 因而其 函数域 为：

例子 6 (尖点曲线)

设 为 代数闭域. 尖点曲线 的 坐标环 为 , 但 属于其 分式域, 所以：

因此 与仿射直线具有同构的函数域, 也即二者 双有理等价, 尽管它们的坐标环不同.

4. 相关性质

命题 7 (函数域判别双有理等价)

设 为 代数闭域, 为 上的 代数簇. 则 双有理等价, 当且仅当其 函数域 与 作为 -扩张同构.

5. 相关概念

• 有理函数
• 正则函数环
• 有理映射
• 双有理映射
• 超越次数

6. 术语翻译

中文	英文
函数域	function field