正合列

1. 概述

于 同调代数 中, 模的正合列 是 正合列 在模范畴中的专门化, 用相邻 模同态 的像与核相等来记录代数结构的嵌入, 商出与延拓.

2. 定义

模的正合列采用 正合列 在左模范畴中的专门化, 本页不重复一般定义. 具体的模论判别见 模的正合列判别.

3. 例子

例子 1 (子模给出的短正合列)

设 为 环, 为左 -模, 为 子模. 典范序列：

是模的正合列.

4. 相关性质

推论 2 (模的正合列判别)

设 为 环, 为一族左 -模, 为 模同态. 序列 是模范畴中的 正合列, 当且仅当对每个 ：

证明 3 (模的正合列判别)

左 -模与模同态构成 Abel 范畴, 其中态射的像与核就是通常的 像 与 核. 因而该判别继承自 正合列.

命题 4 (单射与满射的正合判别)

设 为 模同态. 则：

1. 正合, 当且仅当 为 单射;
2. 正合, 当且仅当 为 满射.

证明 5 (单射与满射的正合判别)

1. 在 处正合等价于 , 再由 核 得结论.
2. 在 处正合等价于 , 再由 像 得结论.
   

5. 相关概念

• 核
• 像
• 商模
• 正合列

6. 术语翻译

中文	英文
正合列	exact sequence
短正合列	short exact sequence