仿射概形

1. 概述

于 代数几何 中, 仿射概形 是交换环的素谱配备结构层所得的局部环化空间. 它把仿射簇推广到任意交换环.

注记 1 (动机)

一个 交换环 不仅能记录方程, 还同时记录可以作为点的 素理想 以及各点附近能够使用的局部函数. 将 素谱 与 结构层 合在一起, 就把这些代数资料组织成可作几何运算的 仿射概形.

注记 2 (直观理解)

取商环对应施加方程, 局部化 对应删去某个函数的零点, 零因子 往往反映可约分支, 而 幂零元 记录仅凭点集看不出的无穷小厚度. 因此同一个底层点集可能承载不同的概形结构.

2. 定义

定义 3 (仿射概形)

若 局部环化空间 同构于某个交换环 的 , 则称 为 仿射概形.

3. 例子

例子 4 (域的仿射概形)

对 域 , 仿射概形 只有点 .

例子 5 (仿射直线与穿孔仿射直线)

对 域 , 是仿射直线对应的 仿射概形. 将 倒置得到 , 因而 对应 主开集 , 即删去原点后的仿射直线.

例子 6 (整数环的仿射概形)

也是 仿射概形, 其点包括泛点 以及每个 素数 对应的闭点 .

例子 7 (可约仿射概形)

设 为 域. 仿射概形 由方程 给出, 它的两个不可约分支分别对应两条坐标轴. 商环中的非零 零因子 与 满足 .

例子 8 (非约化仿射概形)

设 为 域. 仿射概形 的底层拓扑空间只有一个点, 但 是非零 幂零元. 这说明仿射概形保留了普通点集无法检测的非约化信息.

4. 相关性质

定理 9 (仿射概形与交换环的反变对应)

对交换环 , 存在自然 双射：

命题 10 (仿射概形是准仿射概形)

每个 仿射概形 都是 准仿射概形.

证明 11 (仿射概形是准仿射概形)

设 为 仿射概形. 则 拟紧, 且恒等映射把 同构地实现为仿射概形 的开子概形, 因而 是 准仿射概形.

5. 相关概念

• 素谱
• 结构层
• 概形
• 概形态射
• 局部化
• 约化环

6. 术语翻译

中文	英文
仿射概形	affine scheme