1. 概述 于 线性代数 中, 线性空间的直和 把若干 线性空间 组合起来并保留分量的独立性, 是 直和 的特殊情形. 2. 定义 定义 1 (线性空间的直和) 设 为 集合, 为同一 域 上的 线性空间 族. 其 线性空间的直和 是逐分量运算下的空间： 除有限多个外 3. 例子 例子 2 (基本例子) 线性空间 的横轴与纵轴的 直和 通过相加与 线性同构. 对无限指标集, 直和仅含有限支撑的元组, 一般不同于全体元组的乘积. 4. 相关性质 命题 3 (内直和判别) 设 为 线性空间 的 线性子空间. 相加映射 是 线性同构 当且仅当 且 , 其中 表示 直和. 证明 4 (内直和判别) 相加映射同构 和为全空间且交为零 线性同构 的满射性给出 . 若 , 则 在相加映射的核中, 故 . 和为全空间且交为零 相加映射同构 给出满射性. 若 , 则 , 故 , 得单射性. 命题 5 (有限直和维数) 设 为 有限维线性空间. 则其 直和 的维数为 . 证明 6 (有限直和维数) 对每个 , 取 的一组 基 , 并设 为第 个典范嵌入. 令 . 任取 , 将各分量 表为 中向量的 线性组合, 即得 是 中向量的线性组合, 故 生成该 直和. 若 中向量的一个有限线性组合等于零, 则逐分量考察可知, 对每个 都得到 中向量的零线性组合; 由 的 线性无关 性, 所有系数均为零. 因此 是直和的一组基, 从而： 5. 相关概念 直和 线性子空间 投影 6. 术语翻译 中文英文直和direct sum