Galois 群

1. 概述

于 Galois 理论 中, Galois 群 是固定底域的扩域自同构组成的 群. 它编码代数方程的根在保持全部底域关系时可以怎样相互置换.

2. 定义

定义 1 (Galois 群)

设 为 域扩张. 称所有逐点固定 的 域自同构 在复合下组成的 群 为该扩张的 Galois 群.

记号 2 (Galois 群)

Galois 群 记为 .

3. 例子

例子 3 (二次扩张的 Galois 群)

Galois 扩张 的 Galois 群 为 , 其中 .

4. 相关性质

命题 4 (Galois 群忠实作用于根集)

设 是可分多项式 的 分裂域. 则 Galois 群 忠实地 作用 于 的根集, 因而同构于相应 对称群 的一个子群.

证明 5 (Galois 群忠实作用于根集)

域自同构保持 中系数, 故把 的根映为根. 若一个自同构固定全部根, 则它固定由这些根生成的分裂域, 因而是恒同自同构.

5. 相关概念

• Galois 扩张
• 不动域
• Galois 对应
• 自同构群

6. 术语翻译

中文	英文
Galois 群	Galois group