积

1. 概述

于 范畴论 中, 积 把集合的 Cartesian 积推广为由投影态射刻画的泛对象. 其本质不是元素对, 而是任意一对指向两个因子的态射都唯一地经由积对象分解.

2. 定义

定义 1 (积)

设 为 范畴 中的 对象. 称对象 为 的 积, 若其同时满足：

1. 为 中的 对象;
2. 与 为 态射;
3. 对任意对象 及态射 , 存在唯一态射 且满足 以及 , 使得下图 交换：
   \xymatrix{
   & T \ar@{—>}[d]^{\langle f,g\rangle} \ar[ld]f \ar[rd]^g & \
   X & X\times Y \ar[l]^{\pi_X} \ar[r]{\pi_Y} & Y
   }

3. 例子

例子 2 (集合的 Cartesian 积)

在 集合范畴 中, 集合 连同两个坐标投影是 积, 唯一分解为 .

4. 相关性质

命题 3 (积在唯一同构意义下唯一)

若 与 都是 的 积, 则存在唯一同构 使 且 .

证明 4 (积在唯一同构意义下唯一)

由两个 积 的泛性质, 分别得到唯一态射 与 . 复合 与 具有相同的两个投影, 故由唯一性相等；同理 .

5. 相关概念

• 余积；
• 拉回；
• 极限.

6. 术语翻译

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积	product

范畴论