度量空间

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 度量空间 是以距离函数量化点之间接近程度的集合. 每个度量都自然生成一个拓扑, 但并非每个拓扑都来自度量.

2. 定义

定义 1 (度量空间)

设 为 集合, 为 映射. 若对任意 ：

1. , 且 当且仅当 ;
2. ;
3. ,
   则称 为 上的 度量, 并称 为 度量空间.

3. 例子

例子 2 (Euclid 空间的标准度量)

对 , Euclid 空间 上的函数：

是 上的 度量.

例子 3 (离散度量)

对任意 集合 , 令 当 , 否则 . 则 是 度量, 并诱导 离散拓扑.

4. 相关性质

命题 4 (反三角不等式)

在 度量空间 中, 对任意 ：

证明 5 (反三角不等式)

由三角不等式 得 . 交换 得反向差值的不等式, 合并即得结论.

5. 相关概念

• 开球
• 度量诱导的拓扑
• 等价度量
• 可度量化空间

6. 术语翻译

中文	英文
度量	metric
度量空间	metric space
三角不等式	triangle inequality

一般拓扑