积拓扑

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 积拓扑 是笛卡尔积上使所有坐标投影连续的最粗拓扑. 它把各因子空间的局部结构组合到乘积中.

2. 定义

定义 1 (积拓扑)

设 为一族 拓扑空间, . 称由所有投影原像：

作为 拓扑子基 所生成的拓扑为 上的 积拓扑.

3. 例子

例子 2 (Euclid 平面)

Euclid 平面 上两个 通常拓扑 的 积拓扑 等于由开矩形 生成的拓扑.

4. 相关性质

命题 3 (积拓扑的基)

在 中, 所有形如 的集合构成 积拓扑 的 拓扑基, 其中每个 在 中开, 且仅有有限多个 满足 .

证明 4 (积拓扑的基)

子基元素的有限交恰为这类有限支撑开盒, 再由 拓扑子基 的定义得证.

命题 5 (积拓扑的泛性质)

设乘积带有 积拓扑, 为 拓扑空间, 为 映射. 则 连续当且仅当每个坐标映射 连续.

证明 6 (积拓扑的泛性质)

若 连续, 则与连续投影复合仍连续. 反之, 每个积拓扑子基元素 的原像为 , 因而开.

5. 相关概念

• 拓扑子基
• 初始拓扑
• 余积拓扑
• 紧致空间

6. 术语翻译

中文	英文
积拓扑	product topology
坐标投影	coordinate projection

一般拓扑