1. 概述 于 一般拓扑学 中, 积拓扑 是笛卡尔积上使所有坐标投影连续的最粗拓扑. 它把各因子空间的局部结构组合到乘积中. 2. 定义 定义 1 (积拓扑) 设 为一族 拓扑空间, . 称由所有投影原像： 作为 拓扑子基 所生成的拓扑为 上的 积拓扑. 3. 例子 例子 2 (Euclid 平面) Euclid 平面 上两个 通常拓扑 的 积拓扑 等于由开矩形 生成的拓扑. 4. 相关性质 命题 3 (积拓扑的基) 在 中, 所有形如 的集合构成 积拓扑 的 拓扑基, 其中每个 在 中开, 且仅有有限多个 满足 . 证明 4 (积拓扑的基) 子基元素的有限交恰为这类有限支撑开盒, 再由 拓扑子基 的定义得证. 命题 5 (积拓扑的泛性质) 设乘积带有 积拓扑, 为 拓扑空间, 为 映射. 则 连续 当且仅当每个坐标映射 连续, 使得下图 交换： \xymatrix{ Z \ar[r]^{f} \ar[dr]{\pi_i\circ f} & \displaystyle\prod{j\in I}X_j \ar[d]^{\pi_i} \ & X_i } 证明 6 (积拓扑的泛性质) 充分性 ( ) 若 连续, 则由 连续映射的基本性质 的 (2), 与连续投影复合仍连续. 必要性 ( ) 每个 积拓扑 的 子基元素 的原像为 , 因而开. 5. 相关概念 拓扑子基 初始拓扑 余积拓扑 紧致空间 6. 术语翻译 中文英文积拓扑product topology坐标投影coordinate projection 一般拓扑