局部紧致空间

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 局部紧致空间 是每个点附近都具有紧致邻域的拓扑空间. 它把紧致性限制到局部, 同时包含许多非紧致空间.

2. 定义

定义 1 (局部紧致空间)

设 为 拓扑空间. 若对每个 , 都存在 的 邻域 使 作为 子空间 是 紧致空间, 则称 为 局部紧致空间.

3. 例子

例子 2 (Euclid 空间)

具有 通常拓扑 的 是 Euclid 空间 中的 局部紧致空间, 因为每个点都有闭球形式的紧致邻域, 但 本身在 时不紧致.

4. 相关性质

命题 3 (局部紧致 Hausdorff 空间的相对紧致局部基)

若 是 局部紧致空间 且为 Hausdorff 空间, 则每个 都有由开集组成的 局部基 , 且对每个 , 为 紧致子集.

命题 4 (开闭子空间保持局部紧致性)

局部紧致 Hausdorff 空间的每个 开子空间 与每个 闭子空间 都是 局部紧致空间.

5. 相关概念

• 紧致空间
• 紧致子集
• 邻域
• Hausdorff 空间

6. 术语翻译

中文	英文
局部紧致空间	locally compact space
相对紧致	relatively compact

一般拓扑