连通空间

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 连通空间 是不能分解为两个不交非空开集的拓扑空间. 连通性描述空间在整体上是否保持为一块.

2. 定义

定义 1 (连通空间)

设 为 拓扑空间. 若不存在非空 开集 使 且 , 则称 为 连通空间, 或称 满足 连通性.

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 具有 通常拓扑 的区间是 连通空间;
• 空集与单点空间连通;
• 含至少两个点的 离散空间 不连通.

4. 相关性质

命题 3 (连通性的开闭集判据)

拓扑空间 是 连通空间 当且仅当 中同时为 开集 与 闭集 的子集只有 与 .

证明 4 (连通性的开闭集判据)

若 是非空真开闭子集, 则 与 是不交非空开集且并为 . 反之, 若 是不交非空开集的分解, 则 同时开且闭.

命题 5 (连续像保持连通)

若 是 连通空间, 是 连续映射, 则 连通.

证明 6 (连续像保持连通)

若 有非空真开闭子集 , 则 是 的非空真开闭子集, 与 连通性的开闭集判据 矛盾.

命题 7 (具有公共点的连通子集之并连通)

设 为一族 连通子集. 若 , 则 连通.

命题 8 (闭包保持连通)

若 是 拓扑空间 的连通子集, 则其 闭包 仍为 连通空间.

证明 9 (闭包保持连通)

若 不连通, 则存在 中的非空不交开集 使 . 因 连通, 必完全包含于其中一个, 不妨为 . 但 是 中与稠密子集 不相交的非空开集, 矛盾.

5. 相关概念

• 分离集
• 连通分支
• 道路连通空间
• 连通性

6. 术语翻译

中文	英文
连通空间	connected space
连通性	connectedness

一般拓扑