序结构

1. 概述

序结构 以 偏序 或 全序 组织集合中的元素. 当一个对象还带有代数运算时, 需另行给出次序与运算的相容公理, 从而得到有序群、有序环等更具体的结构.

2. 定义

定义 1 (序结构)

设 为 集合, 为 上的 关系. 称 为 序结构, 当 同时满足：

1. 自反性：对任意 , 有 ;
2. 反称性：若 且 , 则 ;
3. 传递性：若 且 , 则 .

3. 例子

例子 2 (有序整数环)

是 序结构. 连同加法与乘法后, 还是有序环：加法保持次序, 且非负整数的乘积仍非负.

4. 相关性质

命题 3 (序结构的限制)

设 为 序结构, . 则 在 上的限制仍定义一个序结构.

证明 4 (序结构的限制)

自反性、反称性 与 传递性 在限制到 子集 后仍然成立.

5. 相关概念

• 代数结构
• 偏序集
• 全序集
• 兼容性
• 有序群
• 有序环

6. 术语翻译

中文	英文
序结构	ordered structure
偏序关系	partial order
相容性	compatibility

结构