素谱

1. 概述

于 代数几何 中, 环的素谱 把交换环的每个素理想视为一个点. 它将理想包含关系、局部化和剩余域组织成一个几何空间.

注记 1 (动机)

若把环元素看成几何对象上的函数, 一个点首先可以由“哪些函数在该点取零”来识别. 对普通点, 这些函数组成 极大理想; 为了同时保留不可约子空间的整体信息, 还需要把一般 素理想 也纳入点集, 由此得到 环的素谱.

注记 2 (直观理解)

在 中, 点 给出求值核 , 它记录所有在 处消失的多项式. 另一方面, 素理想 不固定某个具体坐标值, 而是代表整条不可约直线的泛点.

注记 3 (方法与视角)

研究 时, 可以依次考察点对应的 素理想、由 主开集 给出的邻域、素理想处的局部化 以及 剩余域. 这四层资料分别描述点集、局部拓扑、点附近的函数和点的坐标域.

2. 定义

定义 4 (环的素谱)

设 为 交换环. 称 的全部 素理想 组成的集合为 的 素谱.

记号 5 (环的素谱)

的 环的素谱 记为 .

3. 例子

例子 6 (域的素谱)

对 域 , 素谱 只有点 .

例子 7 (多项式环的素谱)

设 为 代数闭域. 在 素谱 中, 每个 () 都是闭点, 而 是整条仿射直线的泛点. 若 不是代数闭域, 闭点还包括由任意不可约多项式 生成的极大理想 , 因而未必都能写成 .

例子 8 (整数环的素谱)

素谱 的点包括泛点 以及每个 素数 对应的闭点 . 闭点 的 剩余域 为 , 而泛点的剩余域为 .

例子 9 (两条坐标轴相交)

设 为 代数闭域, . 素谱 含有素理想 与 对应的两个不可约分支的泛点, 并在闭点 处相交. 环中 揭示了这个几何对象的可约性.

4. 相关性质

命题 10 (基本开集构成拓扑基)

设 为 交换环. 在 环的素谱 中, 对 , 令 . 则全部 构成 素谱上的 Zariski 拓扑 的一组基, 且：

命题 11 (闭点判别)

设 为 交换环. 环的素谱 中的点 为闭点, 当且仅当 是 极大理想.

5. 相关概念

• 素理想
• 结构层
• 仿射概形
• 素理想处的局部化
• 点处局部环
• 概形的点与剩余域

6. 术语翻译

中文	英文
素谱	prime spectrum
泛点	generic point