最大, 最小, 极大, 极小元的例子

1. 以数系上的通常排序作例子

例子 1 ( 的子集)

由于 实数集 连同 通常排序 构成 偏序集 , 考虑：

• 一个 子集 , 则 的 最大元 为 , 最小元 为 , 它们同时亦为 极大元 以及 极小元.
• 全体 整数 所组成的子集 , 由于它没有 上界, 因此亦不存在最大元.

例子 2 ( 的子集)

考虑 有理数集 的一个 子集 , 它虽然有上界 (例如 等), 但却没有 最大元, 也没有 上确界.

例子 3 ( 区间)

考虑 开区间 , 这便是一个不包含 最小元 (极小元) 以及 最大元 (极大元) 的 的 子集.

2. 以集合包含关系作例子

例子 4 (仅有极大, 极小元的例子)

考虑 集族 , 它连同 子集 包含关系构成 偏序集 , 现在以 Hasse 图 呈现包含关系则有：
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#eyJub2RlcyI6W3sicG9zaXRpb24iOlsxLDBdLCJ2YWx1ZSI6IlxcezEsIDIsIDMsIDRcXH0ifSx7InBvc2l0aW9uIjpbMSwyXSwidmFsdWUiOiJcXHsxLCAyXFx9In0seyJwb3NpdGlvbiI6WzAsMV0sInZhbHVlIjoiXFx7MSwgMiwgM1xcfSJ9LHsicG9zaXRpb24iOlsyLDFdLCJ2YWx1ZSI6IlxcezIsIDMsIDVcXH0ifV0sImVkZ2VzIjpbeyJmcm9tIjoxLCJ0byI6MiwiaGVhZCI6bnVsbH0seyJmcm9tIjoyLCJ0byI6MCwiaGVhZCI6bnVsbH1dfQ==
\xymatrix{
 & {1, 2, 3, 4} & \
{1, 2, 3} \ar@{->}[ru] & & {2, 3, 5} \
& {1, 2} \ar@{->}[lu] &
}

其中 为 的 极大元, 为 极小元, 同时为极大以及极小元, 而 既非极大亦非极小元, 并且 中不存在任何的 最大元 以及 最小元.

例子 5 ( 的幂集)

考虑 , 那么它的 幂集 连同 构成 偏序集 , 并且以 Hasse 图 呈现包含关系则有：
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#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
\xymatrix{
 & {1, 2, 3} & \
{1, 2} \ar@{->}[ru] & {1, 3} \ar@{->}[u] & {2, 3} \ar@{->}[lu] \
{1} \ar@{->}[u] \ar@{->}[ru] & {2} \ar@{->}[lu] \ar@{->}[ru] & {3} \ar@{->}[lu] \ar@{->}[u] \
& \emptyset \ar@{->}[lu] \ar@{->}[ru] \ar@{->}[u] &
}

其中 为 的 极大元, 则为 极小元, 它们同时是 的 最大元 与 最小元. 然而当我们考虑 的 子集 时, 则 有 以及 这两个极大元 (但 不存在任何最大元), 并且 为 的极小与最小元.

序论