幂集

1. 概述

于 集合论 中, 集合  的 幂集  (或记为 ), 是其所有 子集 构成的集合, 例如：

对于任意两个集合 , 记 为所有从 到 的 映射 构成的集合. 特别地, 可通过示性函数与 建立 双射; 这解释了幂集的另一常用记号 .

2. 定义

定义 1 (幂集)

设 为 集合, 它的 幂集 是 中所有 子集 构成的集合, 即：

3. 例子

例子 2 (三元素集合的幂集)

设 为 有限集, 则：

4. 相关性质

命题 3 (空集与自身属于幂集)

对任意 集合 , 有 且 .

命题 4 (有限集幂集的势)

设 为 有限集, 且 , 则 .

证明 5 (有限集幂集的势)

构造从 到全体 映射 的 双射, 将每个 子集 映至其示性函数. 对 的每个元素均有“属于 ”或“不属于 ”两种独立选择, 故共有 个子集.

定理 6 (Cantor 定理)

对任意 集合 , 不存在从 到 的 满射; 因而 .

5. 相关概念

• 幂对象

6. 术语翻译

中文	英文
幂集	power set

集合论