最大元

1. 概述

一个 偏序集 的 最大元 是大于所有其它 元素 的元素.

2. 定义

定义 1 (最大元)

设 为 预序集 (或 偏序集), 子集 , 称 为 最大元, 若 是 的 上界.

注记 2 (与上界的区别)

定义 1 (最大元) 只能含于 中, 而 上界 则可含于整个 预序集 中, 切勿将两者定义混淆.

3. 例子

详情请参阅 最大, 最小, 极大, 极小元的例子.

4. 偏序集 中的相关性质

命题 3 (偏序集中最大元必为极大元)

设 为 偏序集, 若 子集 存在 定义 1 (最大元) , 则 亦是 的 极大元.

证明 4 (偏序集中最大元必为极大元)

按定义知 定义 1 (最大元) , 因此当 时由 偏序集 的 反称性 立得 成立.

命题 5 (偏序集中最大元必为上确界)

设 为 偏序集, 若 子集 存在 定义 1 (最大元) , 则 必为 的 上确界.

证明 6 (偏序集中最大元必为上确界)

按 定义 知 为 的 上界, 而对任意其他 的上界 皆有 , 从而得到 成立.

命题 7 (偏序集中最大元的唯一性)

设 为 偏序集, , 则 的 定义 1 (最大元) 是 唯一 的.

证明 8 (偏序集中最大元的唯一性)

假设存在另一 定义 1 (最大元) , 因为 且 , 由 偏序集 的 反称性 得 .

注记 9 (预序集中最大元不一定唯一)

需要注意的是, 预序集 中 定义 1 (最大元) 不一定 唯一, 因为预序集中允许 “多个 元素 一样大”, 亦即存在多个 极大元, 这并不是线序的.

5. 全序集 中的相关性质

命题 10 (有限全序集的非空子集必定存在最大元)

设 为 有限 全序集, 则它的任意 非空 子集 必定存在 定义 1 (最大元) .

证明 11 (有限全序集的非空子集必定存在最大元)

假设 非空集 有 个 元素 (), 则：

• 若 时, 为 单点集, 总是存在 唯一 的 定义 1 (最大元).
• 若 时, 存在最大元 , 则须证明 亦存在最大元：
  • 若 , 则 为 的最大元.
  • 若 , 则 为 的最大元.
    

6. 相关概念

• 上界
• 极大元
• 最小元

7. 术语翻译

中文	英文
最大元	greatest element

序论