向量场

1. 概述

于 数学分析 中, 向量场 为 Euclid 空间 中每个点赋予一个向量. 它统一描述速度、力与流动, 并由 散度、旋度 和 曲线积分 刻画局部与整体行为.

2. 定义

定义 1 (向量场)

设 为 Euclid 空间 的 开集. 称 映射：

为 上取值于 的 向量场.

记号 2 (向量场)

向量场 的坐标分量记为 , 其中 .

3. 例子

例子 3 (常向量场与零向量场)

设 为整数, 为固定 向量. 则 , 是 向量场. 当 时, 各点的方向相同、长度恒为 , 且没有零点; 当 时, 每一点的场向量都是零向量, 得到零向量场. 例如平面上的 处处水平向右.

下图画出平面上 , 的情形. 每个箭头均从采样点 指向 , 箭头长度按同一比例表示场向量长度, 并未归一化：

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例子 4 (径向与向心向量场)

设 为整数. 在 上, , 是 向量场. 它在每个非零点沿从原点指向该点的方向取值, 长度为 , 因而离原点越远越强. 相反, , 在非零点指向原点, 长度同样为 . 两者都仅在原点为零.

下图只画出 时的径向场 , , 不画向心场 . 每个箭头均从采样点 指向 , 箭头长度按同一比例表示场向量长度, 并未归一化. 零向量所在的原点以小点表示：

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例子 5 (平面旋转场)

设 为 向量场, 分别满足 与 . 在非零点, 两者均与以原点为圆心的圆周相切, 长度为 ; 沿逆时针方向, 沿顺时针方向. 两者的唯一零点都是原点, 绕单位圆的环流计算见 曲线积分.

下图只画出 , , 不画反向旋转场 . 每个箭头均从采样点 指向 , 箭头长度按同一比例表示场向量长度, 并未归一化. 零向量所在的原点以小点表示：

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例子 6 (鞍型向量场)

设 , . 这是一个仅在原点为零的 向量场, 长度为 . 在 轴上, 场向量背离原点; 在 轴上, 场向量指向原点. 不同轴上的相反行为形成鞍型图景.

下图画出鞍型场 , . 每个箭头均从采样点 指向 , 箭头长度按同一比例表示场向量长度, 并未归一化. 零向量所在的原点以小点表示：

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例子 7 (剪切向量场)

设 , . 这是一个始终沿水平方向的 向量场：上半平面中向右, 下半平面中向左, 整条 轴上为零. 场向量长度为 , 同一水平直线上的场向量相同, 不同高度的水平速度不同.

例子 8 (由梯度得到的向量场)

设标量函数 满足 . 其 梯度 给出 向量场 , . 它仅在原点为零, 长度为 . 在非零点, 场向量指向 增长最快的方向; 与径向场相比, 它的竖直分量被放大为两倍.

例子 9 (三维逆平方场)

设 且 , 并令 . 则 , 是 上的 向量场. 它处处指向原点, 长度为 , 因而距离加倍时强度变为原来的四分之一. 它在 内没有零点, 原点则不在定义域中; 当 趋近原点时, 其长度趋于无穷大.

4. 相关性质

命题 10 (向量场的分量连续性判别)

向量场 的每个分量 都是 连续函数, 当且仅当 连续.

证明 11 (向量场的分量连续性判别)

充分性 ( )

若每个 连续, 则 , 故 向量场 连续.

必要性 ( )

若 向量场 连续, 则每个坐标投影与 的复合 连续.

命题 12 (向量场的 Jacobian 表示)

若 向量场 为 , 则其 Jacobian 矩阵 的第 行是 梯度 的转置.

证明 13 (向量场的 Jacobian 表示)

由 Jacobian 矩阵 的定义, 向量场 的第 行依次为 , 这正是 .

5. 相关概念

• 参数曲线;
• 曲线积分;
• 散度;
• 旋度.

6. 术语翻译

中文	英文
向量场	vector field
分量函数	component function
径向向量场	radial vector field

数学分析