1. 概述 于 模论 中, 直和 把一族模组合成只允许有限多个非零坐标的模. 对有限指标集, 直和与直积相同. 2. 定义 定义 1 (模的直和) 设 为一族左 -模. 称直积 中所有有限支撑元素组成的 子模 为这些模的 直和. 记号 2 (模的直和) 模的直和 记为 . 3. 例子 例子 3 (有限直和) 对左 -模 , 模的直和 的元素是有序对 , 运算逐坐标定义. 4. 相关性质 命题 4 (直和的泛性质) 设 为 环, 为 集合, 为一族左 -模, 为典范嵌入. 对任意左 -模 与一族 模同态 , 存在唯一的模同态 , 使得下图 交换： \xymatrix{ M_i \ar[r]^{\iota_i} \ar[dr]{f_i} & \displaystyle\bigoplus{j\in I}M_j \ar@{—>}[d]^{f} \ & N } 此处 任意, 即 对每个 都成立. 证明 5 (直和的泛性质) 存在性 对有限支撑族 定义 . 有限支撑保证和有意义, 并直接给出存在性. 唯一性 典范嵌入的像生成直和, 故分解唯一. 5. 相关概念 -模 自由模 双积 环直积 6. 术语翻译 中文英文直和direct sum