幂零元

1. 概述

于 环论 中, 幂零元 是某个正整数次幂等于零的元素. 全部幂零元构成交换环的 幂零根.

2. 定义

定义 1 (幂零元)

设 为 环, . 称 为 幂零元, 当存在 使 .

3. 例子

例子 2 ( 中的幂零元)

在 整数模 环 中, 是 定义 1 (幂零元), 因为 .

4. 相关性质

命题 3 (幂零元的基本性质)

设 为 交换环, 为 幂零元, 则：

1. 若 , 则 是 零因子;
2. 是 单位.

证明 4 (幂零元的基本性质)

1. 取最小的 使 . 若 , 则 , 且 与 , 所以 是零因子.
2. 若 , 则 , 故 是单位.
   

5. 相关概念

• 幂零根
• 约化环
• 零因子

6. 术语翻译

中文	英文
幂零元	nilpotent element