半环

1. 概述

于 环论 中, 半环 是将 环 的加法逆元条件去除后得到的 代数结构. 自然数上的通常加法与乘法给出最基本的例子.

2. 定义

定义 1 (半环)

设 为 集合, 与 为 上的 二元运算. 称资料 为 半环, 当：

1. 为 交换幺半群;
2. 为 幺半群;
3. 乘法对加法满足 左右分配律;
4. 加法幺元是乘法的吸收元.

记号 2 (半环的零元与幺元)

对 半环 , 加法幺元记为 , 乘法幺元记为 .

3. 例子

例子 3 (自然数半环)

自然数集合 在通常加法与乘法下构成 定义 1 (半环), 但它不是 环, 因为正整数没有加法逆元.

例子 4 (环给出的半环)

任意 环 忘却加法逆元后都是 半环.

4. 相关性质

命题 5 (半环中的零元与幺元)

设 为 定义 1 (半环), 则：

1. 加法零元唯一;
2. 乘法幺元唯一;
3. 若 , 则 只有一个元素.

证明 6 (半环中的零元与幺元)

1. 继承自 幺元的唯一性.
2. 继承自 幺元的唯一性.
3. 对任意 , 有 .
   

5. 相关概念

• 环
• 无幺环
• 交换幺半群

6. 术语翻译

中文	英文
半环	semiring