分配律

1. 概述

于 代数结构 中, 分配律 描述两个 运算 之间的相容关系：其中一个运算可以将另一个运算所组合的输入分别作用后, 再以原运算合并. 环 中乘法与加法的关系是其典型实例.

2. 定义

定义 1 (分配律)

设 为 集合, 与 为 上的两个 二元运算.

1. 称 对 满足 左分配律, 当：
2. 称 对 满足 右分配律, 当：
3. 称 对 满足 分配律, 当它同时满足左分配律与右分配律.

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 整数 乘法对加法满足 分配律;
• 对任意 集合 , 幂集 上的 交集 对 并集 满足分配律, 并集对交集也满足分配律;
• 整数加法对乘法不满足分配律, 例如 , 而 .

4. 相关性质

命题 3 (交换运算的左右分配律等价)

设 与 为 集合 上的两个 二元运算. 若 满足 交换律, 则 对 满足 左分配律, 当且仅当它满足右分配律.

证明 4 (交换运算的左右分配律等价)

充分性 ( )

假设 对 满足 左分配律. 对任意 , 由交换律与左分配律：

故 对 满足右分配律.

必要性 ( )

假设 对 满足右分配律. 对任意 , 由交换律与右分配律：

故 对 满足左分配律.

命题 5 (零元与负号的分配规则)

设 为 群, 零元为 , 为 上对 满足 分配律 的 二元运算. 对任意 ：

1. ;
2. ;
3. .

证明 6 (零元与负号的分配规则)

1. 由 分配律： 在等式两侧消去 , 得 . 同理, 由 得 .
2. 由第 条与分配律： 故 . 类似地： 故 .
3. 由第 条：

5. 相关概念

• 结合律
• 交换律
• 吸收律
• 半环
• 环

6. 术语翻译

中文	英文
分配律	distributive law
左分配律	left distributive law
右分配律	right distributive law

一般数学 代数性质