1. 概述 于 环论 中, 子环 是在原环运算下自身仍构成 环 的子结构. 2. 定义 定义 1 (子环) 设 为 环, 为 子集. 称 为 的 子环, 当 , 且 在 的加法、加法逆元与乘法下封闭. 3. 例子 例子 2 (整数环的嵌入) 整数环 可视为 有理数 域 、实数 域 与 复数 域 的 定义 1 (子环). 4. 相关性质 命题 3 (子环判别法) 设 为 环, . 则 为 定义 1 (子环) 当且仅当 , 且对任意 都有 与 . 证明 4 (子环判别法) 充分性 ( ) 若 是子环, 则 , 且差封闭与乘法封闭直接来自 子环 的定义. 必要性 ( ) 由 知 非空; 令 得 , 再以 得 , 最后由 得加法封闭. 结合律与分配律从 继承, 故 是子环. 5. 相关概念 环 理想 环同态 6. 术语翻译 中文英文子环subring