极大理想

1. 概述

于 环论 中, 极大理想 是按包含关系极大的 真理想. 对交换环取极大理想的 商环 总会得到一个 域.

2. 定义

定义 1 (极大理想)

设 为 环, 为 真理想. 称 为 极大理想, 当对任意理想 ：

3. 例子

例子 2 (整数环中的极大理想)

在 整数环 中, 对每个 素数 都是 定义 1 (极大理想), 因为 是 域.

4. 相关性质

命题 3 (极大理想的商环刻画)

设 为 交换环, . 则 是 定义 1 (极大理想) 当且仅当 商环 是 域.

证明 4 (极大理想的商环刻画)

充分性 ( )

若 极大, 取非零元 . 因 , 理想 严格包含 , 故等于 . 因此存在 与 使 , 从而 .

必要性 ( )

若 是域且 , 则 是 的理想. 域只有零理想与全环两个理想, 故 或 .

推论 5 (极大理想必为素理想)

交换环中的每个 定义 1 (极大理想) 都是 素理想.

证明 6 (极大理想必为素理想)

对 极大理想 , 由 极大理想的商环刻画, 商环 是域, 因而是整环; 再由 素理想的商环刻画 得结论.

定理 7 (极大理想的存在性)

设 为非零 交换环, 为 真理想, 则存在 定义 1 (极大理想) 使 .

证明 8 (极大理想的存在性)

考虑所有包含 的真理想按包含关系构成的偏序集. 任意链的并仍是真理想：它显然是理想; 若含 , 则链中某个理想已经含 , 与真理想矛盾. 由 Zorn 引理, 该偏序集存在极大元 , 它正是包含 的 极大理想.

5. 相关概念

• 真理想
• 素理想
• 局部环
• 剩余域

6. 术语翻译

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极大理想	maximal ideal