1. 概述 于 群论 中, 若 群 之间的 群同态 是 双射 的, 则称之为 群同构. 它亦是 群范畴 中的 同构. 2. 定义 定义 1 (群同构) 设 为 群, 若 群同态 是 双射, 则称 为 群同构. 3. 例子 详情请参阅 群论中同态的例子. 4. 相关性质 推论 2 (群同构的复合仍是同构) 设 为 群, 群同构 以及 , 则 复合 仍是群同构. 证明 3 (群同构的复合仍是同构) 继承自 半群同构的复合仍是同构. 命题 4 (群的等价定义) 设 为 群, 为 群同构 同态. 证明 5 (群的等价定义) 群同构 存在同态逆 若 为 群同构, 取其 逆映射 . 对任意 , 由 的 满性 可取 使 与 , 从而 , 故 为 群同态. 由逆映射的定义有 与 . 存在同态逆 群同构 反之, 设群同态 满足 与 . 两式说明 与 互为 逆映射, 因而 为 双射. 此外, 表明 为 单射; 对任意 , 有 , 由 的单射性得 , 故 为群同态, 从而为群同构. 5. 相关概念 双射 半群同构 群同态, 群单同态, 群满同态 群自同构 6. 术语翻译 中文英文群同构group isomorphism