半群

1. 概述

于 群论 中, 半群 是指额外带有 结合律 的 原群, 或不一定有 单位律 的 幺半群.

2. 定义

定义 1 (半群)

称 原群 为 半群, 当它的 二元运算 满足 结合律, 即：

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 正整数集合 在加法下构成 半群, 但没有加法幺元, 因而不是 幺半群;
• 固定字母表上的所有非空有限字符串在连接运算下构成半群; 连接满足 结合律, 但空字符串不在其中;
• 每个 群 与幺半群在忘记幺元或逆元资料后都是半群.

4. 相关性质

命题 3 (半群中的有限乘积与括号无关)

设 为 半群, , . 任意两种保持因子顺序的加括号方式都给出相同元素, 因而可无歧义地记为 .

证明 4 (半群中的有限乘积与括号无关)

对 使用 数学归纳法. 时即为 结合律. 假设结论对少于 个因子的乘积成立. 任一加括号方式可在最外层写成 ; 由归纳假设与结合律, 可将分界逐步移至同一位置, 因而所有结果相等.

命题 5 (平移映射刻画消除律)

设 为 半群. 对每个 , 左平移 为 单射 当且仅当 满足左 消除律; 右平移 为单射当且仅当 满足右消除律.

证明 6 (平移映射刻画消除律)

为单射等价于 , 这正是左消除律. 右侧同理.

5. 相关概念

• 原群 (非 结合律 的版本)
• 幺半群 (带 单位律 的版本)
• 群 (带 单位律, 逆元律 的版本)

6. 术语翻译

中文	英文
半群	semigroup