同态

1. 概述

一般而言, 所谓的 同态 是一个 集合 中 元素 间的 映射, 它保持了 代数结构.

例如考虑两个不同的 群 以及 , 如欲建立它们之间 (于 基础集 中) 的 映射 , 按照 群 的定义, 对任意两个 元素 , 在经过 运算 > ^48e77d 后所得出的元素 是 封闭性 于 中的, 我们同样希望 在经过 的映射后, 以及 在经过 这一二元运算后, 仍需封闭于 中, 这便是所谓的 群同态, 亦是 “保持结构” 这一概念的刻画.

2. 定义

定义 1 (传统定义 (原群, 半群, 群, 无幺环的同态))

设 皆为 原群, 以及它们之间 (于 基础集 上) 的 映射 , 若该映射满足：

则称 为 原群 间的 同态. 若将 原群 替换为 半群, 群 或 无幺环, 该定义依然可行.

保有幺元的问题

注意到, 上述的定义并不包含 幺半群, 这是由于幺半群 间的同态无法单单只凭条件：

便可以确保 中的幺元 能够顺利地通过 被映射至 中的幺元 , 而对于带有幺元的 群 却是可行的 (从命题 同态 (群) > ^ad40bc 中的证明, 可窥见群同态之所以保有幺元, 是因为利用了 逆元律 的性质), 而缺少逆元的幺半群是无法做到这一点的, 因此便引出了以下定义.

定义 2 (要求保有幺元的同态 (幺半群, 环))

设 皆为 幺半群, 以及它们之间 (于 基础集 上) 的 映射 , 若该映射同时满足：

则称 为幺半群 间的 同态. 若将 幺半群 替换为 环, 该定义依然可行.

注记 3

在 范畴论 的观点下, 上面的定义恰好是 消圈 这一概念的特例.

3. 例子

同态的例子十分多, 详情请参阅：

• 群论中同态的例子;
• 环论中同态的例子.

4. 术语翻译

中文	英文
同态	homomorphism
原群同态	magma homomorphism
半群同态	semigroup homomorphism
幺半群同态	monoid homomorphism
群同态	group homomorphism
无幺环同态	rng homomorphism
环同态	ring homomorphism

一般数学 抽象代数